Большая диагональ основания шестиугольной призмы

Изучением призм занимается пространственная геометрия. Важными их характеристиками являются заключенный в них объем, площадь поверхности и число составляющих элементов. В статье рассмотрим все эти свойства для шестиугольной призмы.

О какой призме пойдет речь?

Призма шестиугольная — это фигура, образованная двумя многоугольниками, имеющими шесть сторон и шесть углов, и шестью параллелограммами, соединяющими отмеченные шестиугольники в единое геометрическое образование.

На рисунке изображен пример этой призмы.

Отмеченный красным цветом шестиугольник называется основанием фигуры. Очевидно, что число ее оснований равно двум, причем оба они идентичны. Желто-зеленоватые грани призмы называются ее боковыми сторонами. На рисунке они представлены квадратами, но в общем случае они являются параллелограммами.

Шестиугольная призма может быть наклонной и прямой. В первом случае углы между основанием и боковыми сторонами не являются прямыми, во втором они равны 90 o . Также эта призма может быть правильной и неправильной. Правильная шестиугольная призма обязательно должна быть прямой и иметь правильный шестиугольник в основании. Приведенная выше призма на рисунке этим требованиям удовлетворяет, поэтому она называется правильной. Далее в статье будем изучать только ее свойства, как общий случай.

Элементы

Для любой призмы главными ее элементами являются ребра, грани и вершины. Шестиугольная призма не является исключением. Приведенный выше рисунок позволяет посчитать количество этих элементов. Так, граней или сторон мы получаем 8 (два основания и шесть боковых параллелограммов), число вершин составляет 12 (по 6 вершин для каждого основания), количество ребер шестиугольной призмы равно 18 (шесть боковых и 12 для оснований).

В 1750-е годы Леонард Эйлер (швейцарский математик) установил для всех полиэдров, к которым относится призма, математическую связь между числами указанных элементов. Эта связь имеет вид:

число ребер = число граней + число вершин — 2.

Указанные выше цифры удовлетворяют этой формуле.

Читайте также:  Установить ярлык на рабочий стол андроид

Диагонали призмы

Все диагонали шестиугольной призмы можно разделить на два типа:

  • те, которые лежат в плоскостях ее граней;
  • те, которые принадлежат всему объему фигуры.

Рисунок ниже показывает все эти диагонали.

Видно, что D1 — это диагональ боковой стороны, D2 и D3 — диагонали всей призмы, D4 и D5 — диагонали основания.

Длины диагоналей боковых сторон между собой равны. Вычислить их легко, используя всем известную теорему Пифагора. Обозначим символом a длину стороны шестиугольника, символом b — длину бокового ребра. Тогда диагональ имеет длину:

Диагональ D4 также легко определяется. Если вспомнить, что правильный шестиугольник вписывается в окружность радиусом a, то D4 является диаметром этой окружности, то есть получим следующую формулу:

Диагональ D5 основания найти несколько сложнее. Для этого следует рассмотреть равносторонний треугольник ABC (см. рис.). Для него AB = BC = a, угол ABC равен 120 o . Если из этого угла опустить высоту (она же будет биссектрисой и медианой), тогда половина основания AC будет равно:

Сторона AC является диагональю D5, поэтому получаем:

Теперь остается найти диагонали D2 и D3 правильной шестиугольной призмы. Для этого нужно увидеть, что они являются гипотенузами соответствующих прямоугольных треугольников. Воспользовавшись теоремой Пифагора, получаем:

Таким образом, самой большой диагональю для любых значений a и b является D2.

Площадь поверхности

Чтобы понять, о чем идет речь, проще всего рассмотреть развертку этой призмы. Она показана на рисунке.

Видно, что для определения площади всех сторон рассматриваемой фигуры необходимо рассчитать отдельно площадь четырехугольника и площадь шестиугольника, затем умножить их на соответствующие целые числа, равные количеству каждого n-угольника в призме, и сложить полученные результаты. Шестиугольников 2, прямоугольников 6.

Для площади прямоугольника получаем:

Тогда площадь боковой поверхности равна:

Для определения площади шестиугольника проще всего воспользоваться соответствующей формулой, которая имеет вид:

Читайте также:  И меня для аватарии для девочек

Подставляя в это выражение число n равное 6, получаем площадь одного шестиугольника:

Это выражение следует умножить на два, чтобы получить площадь оснований призмы:

Остается сложить Sos и S2, чтобы получить полную площадь поверхности фигуры:

Объем призмы

После того как была получена формула для площади шестиугольного основания, вычислить объем, заключенный в рассматриваемую призму, проще простого. Для этого следует лишь умножить площадь одного основания (шестиугольника) на высоту фигуры, длина которой равна длине бокового ребра. Получаем формулу:

Отметим, что произведение основания на высоту дает значение объема абсолютно любой призмы, включая наклонную. Однако в последнем случае расчет высоты осложняется, поскольку она уже не будет равна длине бокового ребра. Что касается шестиугольной правильной призмы, то значение ее объема является функцией двух переменных: сторон a и b.

Из каждой вершины призмы, например из вершины А1 (рис.), можно провести три диагонали (A1E, A1D, A1C).

Они проектируются на плоскость ABCDEF диагоналями основания (АЕ, AD, АС). Из наклонных A1E, A1D, A1C наибольшая та, у которой проекция — самая большая. Следовательно, наибольшая из трех взятых диагоналей есть A1D (в призме есть еще диагонали, равные A1D, но больших нет).

Площадь равностороннего треугольника АОВ равна 1 /4• АО 2 • √ 3 . Следовательно,

Объем V = S•H = 3√ 3 /8 • АD 2 • АA1

Замечание. Для изображения правильного шестиугольника (основания призмы) можно построить произвольный параллелограмм BCDO. Откладывая на продолжениях прямых DO, CO, ВО отрезки OA = OD, OF= OC и ОЕ= ОВ, получаем шестиугольник ABCDEF. Точка О изображает центр.

оБЙВПМШЫБС ДЙБЗПОБМШ РТБЧЙМШОПК ЫЕУФЙХЗПМШОПК РТЙЪНЩ ТБЧОБ d Й УПУФБЧМСЕФ У ВПЛПЧЩН ТЕВТПН РТЙЪНЩ ХЗПМ 30 o . оБКДЙФЕ ПВЯЈН РТЙЪНЩ.
фБЛЦЕ ДПУФХРОЩ ДПЛХНЕОФЩ Ч ЖПТНБФЕ TeX

тЕЫЕОЙЕ

рХУФШ УФПТПОБ РТБЧЙМШОПЗП ЫЕУФЙХЗПМШОЙЛБ, МЕЦБЭЕЗП Ч ПУОПЧБОЙЙ ДБООПК РТЙЪНЩ, ТБЧОБ a . фПЗДБ ОБЙВПМШЫБС ЕЗП ДЙБЗПОБМШ ТБЧОБ 2a , РТЙЮЈН ПОБ СЧМСЕФУС ПТФПЗПОБМШОПК РТПЕЛГЙЕК ОБ РМПУЛПУФШ ПУОПЧБОЙС ОБЙВПМШЫЕК ДЙБЗПОБМЙ РТЙЪНЩ. рХУФШ h – ЧЩУПФБ РТЙЪНЩ, V – ЕЈ ПВЯЈН. йЪ ХУМПЧЙС ЪБДБЮЙ УМЕДХЕФ, ЮФП
2a = d, h = d cos 30 o = .
еУМЙ S – РМПЭБДШ ПУОПЧБОЙС РТЙЪНЩ, ФП
S = 6· = = .
уМЕДПЧБФЕМШОП,
V = Sh = · = .

Читайте также:  Как восстановить чаты ватсап из гугл диска

фБЛЦЕ ДПУФХРОЩ ДПЛХНЕОФЩ Ч ЖПТНБФЕ TeX

пФЧЕФ

.
фБЛЦЕ ДПУФХРОЩ ДПЛХНЕОФЩ Ч ЖПТНБФЕ TeX

йУФПЮОЙЛЙ Й РТЕГЕДЕОФЩ ЙУРПМШЪПЧБОЙС

web-УБКФ
оБЪЧБОЙЕ уЙУФЕНБ ЪБДБЮ РП ЗЕПНЕФТЙЙ т.л.зПТДЙОБ
URL http://zadachi.mccme.ru
ОЕЙЪЧЕУФОП
оПНЕТ 7734

рТПЕЛФ ПУХЭЕУФЧМСЕФУС РТЙ РПДДЕТЦЛЕ Й .