Через параллельные прямые можно провести плоскость

  • Главная
  • Репетиторы
  • Учебные материалы
  • Контакты

1. Параллельность прямых в пространстве

Теорема. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Доказательство. Пусть b данная прямая и точка А, не лежащая на данной прямой. Проведем через точку А и прямую b плоскость α. А через точку А прямую a, параллельную прямой b. (Рис.1)

Допустим, что существует другая прямая а’, параллельная прямой b и проходящая через точку А. Тогда через них можно провести плоскость β. Отсюда следует, что через точку А и прямую b можно провести две плоскости. А это невозможно согласно теореме о единственности существования плоскости, проведеной через прямую и не лежащую на ней точку. Таким образом, плоскости α и β совпадают. А следовательно, согласно аксиоме, прямые а и a’ совпадают также.

Рис. 1 Параллельность прямых в пространстве.

2.Признак параллельности прямых

Теорема. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

Доказательство. Пусть прямые а и b лежат в разных плоскостях и параллельны прямой с. Доказать, что прямые а и b параллельны между собой. (Рис.2)

Проведем через прямую a и c плоскость α. Через прямые b и c плоскость β. Прямая с — прямая пересечения плоскостей α и β. Отметим на прямой а точку А. Проведем через точку А и прямую b плоскость γ. Тогда плоскость γ будет пересекать плоскость α по прямой а’. Прямая a’ либо паралельна прямой c, либо ее пересекает. Допустим прямая а’ пересекает прямую с. Тогда эта точка пересечения принадлежит плоскости β, т.к. прямая с принадлежит двум плоскостям α и β. А т.к. прямая а’ полностью принадлежит плоскости γ, а прямая b есть прямая пересечения плоскостей γ и β, то это означает, что она пересекает и прямую b. А это означает, что прямые b и c пересекаются, т.к. прямая a’ пересекает плоскость β только в одной точке, которая должна принадлежать двум прямым b и с. А это противоречит условию. Следовательно прямая a’ не пересекает прямую с. Она ей параллельна. Согласно аксиоме, на плоскости α, через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. И эта прямая а. Т.е. прямые а и а’ совпадают. Это значит, что прямые а и b параллельны.

Рис.2 Признак параллельности прямых

3. Признак параллельности плоскостей

Теорема: если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Доказательство.

Пусть α и β данные плоскости. Прямая а параллельна прямой а 1 . Прямая b параллельна b 1 (Рис.3). Допустим, что плоскости α и β пересекаются по прямой с. Тогда прямая с должна пересекать, как минимум, одну из прямых на каждой плоскости. Пусть это будут прямые а и а 1 . Т.к. прямые а и а 1 параллельны, следовательно они пересекают прямую с в разных точках Е и Е 1 . Проведем через две параллельные прямые а и а 1 плоскость γ. Тогда точки Е и Е 1 , которые лежат на прямой с, будут принадлежать плоскости γ. Следовательно, прямая с полностью принадлежит плоскости γ. Отсюда следует, что:

а ∈ α, γ.
а 1 ∈ β, γ.
с ∈ α, β,γ

т.е. плоскости α и γ пересекаются по двум прямым а и с, а плоскости β и γ пересекаются по прямым а 1 и с.

Рис. 3 Признак параллельности плоскостей.

Согласно аксиоме стереометрии, это невозможно, т.к. две плоскости могут пересекаться только по одной прямой. И следовательно, наше предположение неверно. Плоскости α и β не пересекаются, они параллельны.

4. Свойства параллельных плоскостей

Теорема: Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.

Доказательство.

Пусть даны две параллельные плоскости α и β (Рис.4). Плоскость γ пересекает их по прямым а и b.

Допустим, что прямые пересечения плоскостей пересекаются. Это прямые а и b’. Прямая а — это множество точек, принадлежащих плоскостям α и γ. А так как прямая b’ представляет собой множество точек, пренадлежащих двум плоскостям β и γ, то отсюда следует, что существует точка пересечения прямых а и b’, которая принадлежит плоскости α. И следовательно, плоскости α и β имеют общую точку. А это противоречит условию, т.к. плоскости α и β не пересекаются, они параллельны. Следовательно, прямые а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются. Т.е. они тоже параллельны.

Рис. 4 Свойства параллельных плоскостей.

5. Пример 1

Докажите, что если прямые АВ и CD скрещивающиеся, то прямые АС и BD тоже скрещиваются.

Доказательство:

Пусть даны две скрещивающиеся прямые АВ и CD. Проведем через прямую АВ и точку С плоскость α (Рис.5). Так как прямые АВ и CD скрещивающиеся, то прямая CD не лежит в плоскости α, а пересекает ее в одной точке С.

Отсюда следует, что точка D не принадлежит плоскости α. Она лежит вне ее.

Таким образом, если мы проведем прямую АС, то она полностью будет принадлежать плоскости α, так как две ее точки А и С принадлежат плоскости α.

А прямая BD не будет принадлежать плоскости α, так как точка D не принадлежит плоскости α. Прямая BD будет пересекать плоскость α в одной точке В.

Отсюда можно сделать вывод, что прямая АС не может пересекать прямую BD, так как прямая АС полностью принадлежит плоскости α. А прямая BD имеет только одну общую точку с плоскостью α, точку В. Но так как точка В не лежит на прямой АС, следовательно, прямые АС и BD не пересекаются. Они являются скрещивающимися.

Рис.5 Задача. Докажите, что если прямые АВ и CD скрещивающиеся.

Пример 2

Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АВ и ВС, параллельна прямой, проходящей через середины отрезков AD и CD.

Доказательство:

Пусть даны четыре точки А, В, С, D, которые не лежат в одной плоскости. Проведем плоскость α через точки A, D, C и плосксоть α’ через точки А, В, С (Рис.6). Точки P, S, F, E являются серединами отрезков AB, BC, AD и CD соответственно. Необходимо доказать, что прямая PS параллельна прямой FE.

Рассмотрим треугольник АВС. Он полностью лежит в плоскости α’, так как три его вершины лежат в данной плоскости по построению. Отрезок PS представляет собой среднюю линию треугольника, которая параллельна АС.

Теперь рассмотрим треугольник АСD. Он полностью лежит в плоскости α, так как три его вершины лежат в данной плоскости по построению. Отрезок FE представляет собой среднюю линию треугольника, которая также параллельна АС.

Отсюда можно сделать вывод: если две прямые PS и FE параллельны третьей прямой АС, то они параллельны и между собой. И равны половине основанию АС. Таким образом, PSEF представляет собой параллелограмм.

Рис.6 Задача. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости.

Пример 3

Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что прямые, соединяющие середины отрезков АВ и ВС, АС и BD, AD и BC пересекаются в одной точке.

Доказательство:

Пусть даны четыре точки А, В, С, D, которые не лежат в одной плоскости. Проведем отрезки EP, VS, FT, которые соединят середины сторон AB и CD, BC и AD, AC и BD соответственно (Рис.7).

Из предыдущей задачи нам известно, что четырехугольник EVPS, вершины которого являются серединами отрезков АВ, ВС, СD и AD, есть параллелограмм, у которого EP и VS диагонали. Эти диагонали пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам.

Теперь рассмотрим четырехугольник VTSF. Данный четырехугольник также является параллелограммом, так как его вершины — это середины отрезков BC, BD, AC и AD. А его диагонали VS и FT пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам.

Так как у отрезка VS середина одна, т.е. точка О, то все три диагонали EP, VS и FT пересекаются в этой точке.

Рис.7 Задача. Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости.

Пример 4

Докажите, что если две плоскости, пересекающиеся по прямой а, пересекают плоскость α по параллельным прямым, то прямая а параллельна плоскости α.

Доказательство:

Пусть даны две плоскости β и γ, пересекающиеся по прямой а (Рис.8). Эти плоскости пересекают плоскость α по параллельным прямым b и с. Необходимо доказать, что прямая а параллельна плоскости α.

Прямая b — это множество точек, которые одновременно принадлежат плоскостям α и γ. Прямая с — это множество точек, которые одновременно принадлежат плоскостям α и β. Так как прямые b и с параллельны, то на этих прямых нет ни одной точки, которая одновременно принадлежала бы трем плоскостям.

Прямая а — это множество точек, которые принадлежат двум плоскостям β и γ. Допустим, что она пересекает плоскость α. Тогда на ней должна быть точка, которая принадлежала бы одновременно трем плоскостям. А следовательно, она одновременно лежала бы на прямых b и с. Но это противоречит условию задачи, так как прямые b и с не пересекаются. Следовательно, прямая а параллельна прямым b и с. А отсюда следует, что она параллельна плоскости α.

Рис.8 Задача. Докажите, что если две плоскости, пересекающиеся по прямой а.

Пример 5

Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку О, пересекают плоскость α в вершинах параллелограмма, то они пересекают любую плоскость, параллельную α и не проходящую через точку О, тоже в вершинах параллелограмма.

Доказательство:

Пусть даны четыре прямые, проходящие через точку О, ОА, ОВ, ОС и OD (Рис.9). Они пересекают плоскость α в точках А, В, С и D соответственно. Проведем плоскость α’, параллельную плоскости α. Тогда прямые ОА, ОВ, ОС и OD пересекут плоскость α’ в точках A’B’C’D’.

Проведем плоскость β через точки А, В, A’, B’. Тогда прямые АВ и A’B’ не пересекаются, так как это прямые пересечения двух параллельных плоскостей α и α’ с секущей плоскостью β.

Отсюда следует, что прямые ВС и В’С’, CD и C’D’, AD и A’D’ параллельны. А так как АВ параллельна CD, а ВС параллельна AD, то следовательно, А’В’ параллельна C’D’, а В’С’ параллельна A’D’.

Таким образом, A’B’C’D’ также является параллелограммом.

Рис.9 Задача. Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку А.

Что ты хочешь узнать?

Ответ

Проверено экспертом

1. Какие возможны случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве?

Прямые могут а) пересекаться, б) быть параллельными, в) быть скрещивающимися.

2. Если две прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются, то они параллельны.

3. Всегда ли через две параллельные прямые можно провести плоскость?

Да. Параллельные прямые уже лежит в одной плоскости (по определению). Если взять две точки на одной прямой и одну точку на другой, то по аксиоме через эти три точки проходит единственная плоскость. Значит через две параллельные прямые проходит единственная плоскость.

4. Сформулируйте лемму о пересечении плоскости параллельными прямыми

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

5. Сформулируйте теорему о плоскости, проходящей через прямую, параллельную другой плоскости.

Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна данной прямой.

6. Известно, что прямая параллельна плоскости. Параллельна ли она любой прямой лежащей на этой плоскости?

Нет. В плоскости будут прямые, параллельные данной, но будут и скрещивающиеся с ней. (см. рисунок)

Устанавливая рекомендуемое программное обеспечение вы соглашаетесь
с лицензионным соглашением Яндекс.Браузера и настольного ПО Яндекса .

Параллельность прямых и плоскостей.

§ 1. Параллельность прямых, прямой и плоскости.

Параллельные прямые в пространстве.

Параллельность трёх прямых.

Параллельность прямой и плоскости.

Существует четыре варианта взаимного расположения прямых в трёхмерном пространстве: прямые могут пересекаться; могут быть параллельными; могут быть скрещивающимися и могут совпадать.

Определение. Две прямые в трёхмерном пространстве называются пересекающимися, если они лежат в одной плоскости и имеют общую точку.

Определение. Две прямые в трёхмерном пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Определение. Две прямые в трёхмерном пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

На рисунках показано, что прямые и лежат в разных плоскостях. Они не пересекаются и не параллельны, значит, через них нельзя провести плоскость. Эти прямые скрещивающиеся.

Для определённости, введём признак скрещивающихся прямых.

Теорема (признак скрещивающихся прямых). Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Дано: . Доказать: и – скрещивающиеся.

Доказательство. Предположим, что прямые и лежат в одной плоскости . Тогда прямая и точка лежат в плоскости . Значит, плоскости и совпадают. Поэтому и прямая лежит в плоскости , что противоречит условию (). Значит, предположение, что прямые и лежат в одной плоскости неверно, т.е. и лежат в разных плоскостях, значит, являются скрещивающимися, ч.т.д.

Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой, и, притом, только одну.

Дано: Прямые и – скрещивающиеся. Доказать: .

Доказательство.

Через точку , не лежащую на прямой , можно провести прямую, параллельную , и, притом, только одну. Это прямая .

Через две пересекающиеся прямые и можно провести единственную плоскость .

Эта плоскость единственная, так как любая другая плоскость, проходящая через , будет пересекаться с и , которая ей параллельна.

Углы между прямыми в пространстве.

1. Если прямые параллельны, то угол между ними .

2. Углом между двумя пересекающимися прямыми называют величину меньшего из углов, образованных этими прямыми. Если все углы равны, то эти прямые перпендикулярны (образуют угол ).

3. Углом между двумя скрещивающимися прямыми называют угол между двумя пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимися прямым.

Теорема 1. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и, притом, только одну.

1. По определению параллельных прямых, и лежат в одной плоскости, обозначим её .

2. Докажем, что такая плоскость единственная. На прямой выбираем точки и , а на прямой точку .

3. Так как через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести только одну плоскость, то является единственной плоскостью, которой принадлежат прямые и .

Теорема 2. Через любую точку пространства вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной, и, притом, только одну.

1. Через данную прямую и точку , которая не лежит на прямой, проводится плоскость .

2. Такая плоскость только одна (т.к. через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и, притом, только одну).

3. А в плоскости через точку можно провести только одну прямую , которая параллельна прямой .

Теорема 3. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Дано: . Доказать: .

1. Рассмотрим две параллельные прямые и и допустим, что прямая a пересекает плоскость в точке M (1. рис.).

2. Из 1-ой теоремы известно, что через параллельные прямые и можно провести только одну плоскость .

3. Так как точка M находится на прямой , то M также принадлежит плоскости (2. рис.). Если у плоскостей и есть общая точка M, то у этих плоскостей есть общая прямая , которая является прямой пересечения этих плоскостей (4 аксиома).

4 Прямые и находятся в плоскости .

5. Если в этой плоскости одна из параллельных прямых пересекает прямую , то вторая прямая тоже пересекает .

6. Точку пересечения прямых и обозначим через Так как точка находится на прямой , то находится в плоскости и является единственной общей точкой прямой и плоскости .

Значит, прямая пересекает плоскость в точке , ч.т.д.

Теорема 4. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

1. На прямой выберем точку .

2. Проведём плоскость через точку и прямую (теорема 2).

3.1. Если , то (т.к. ). Значит, и , т.к. . Это противоречит тому, что прямая лежит в плоскости . Значит, предположение, что неверно, т.е. .

3.2. Если , тогда предположим, что . Значит, через одну точку проведены две прямые, которые параллельны прямой . А это невозможно, т.к. такая прямая существует только одна. Значит, предположение, что неверно, т.е. , ч.т.д.

Пучком параллельных прямых называется всё множество прямых в пространстве, которые параллельны данной прямой.

Существует три варианта взаимного расположения прямой и плоскости в трёхмерном пространстве:

1. прямая лежит в плоскости;

2. прямая и плоскость имеют только одну общую точку (пересекаются);

3. прямая и плоскость не имеют общих точек.

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными , если они не имеют общих точек.

Теорема 5 (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

1. Предположим, что , тогда .

3. По признаку скрещивающихся прямых, прямые и – скрещиваются. А это противоречит условию, что . Поэтому, наше предположение было неверным, и , ч.т.д.

Теорема 6. Если плоскость проходит через данную прямую , параллельную плоскости , и пересекает эту плоскость по прямой , то .

Предположим, что , тогда . Значит, прямая и плоскость имеют общую точку , т.е. , что противоречит условию, что .

Мы пришли к противоречию с условием, значит, сделали неверное предположение. Поэтому, , ч.т.д.

Теорема 7. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо параллельна этой плоскости, либо лежит в ней.

Так как , то прямая не пересекает плоскость . Тогда, по теореме 3 о пересечении плоскости параллельными прямыми, прямая тоже не пересекает плоскость А это значит, что прямая либо параллельна плоскости , либо лежит в ней, ч.т.д.

Главная > Учебные материалы > Математика: Стереометрия. Страница 2

1 2 3 4 5 6 7 8
Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock detector