Доказать что последовательность является ограниченной

Определение. Последовательность n> называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:

т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).

Определение. Последовательность (xn) называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что

Определение. Последовательность n>называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что

Пример. n> = n – ограничена снизу <1, 2, 3,>.

Определение. Число а называется пределом последовательности n>, если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие:

Это записывается: lim xn = a.

В этом случае говорят, что последовательность n> сходится к а при n®¥.

Свойство: Если отбросить какое-либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.

Пример. Доказать, что предел последовательности lim .

Пусть при n > N верно , т.е. . Это верно при , таким образом, если за N взять целую часть от , то утверждение, приведенное выше, выполняется.

Пример. Показать, что при n®¥ последовательность 3, имеет пределом число 2.

Очевидно, что существует такое число n, что , т.е. lim n> = 2.

Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.

Доказательство. Предположим, что последовательность n>имеет два предела a и b, не равные друг другу.

Тогда по определению существует такое число e >0, что

Запишем выражение:

А т.к. e- любое число, то , т.е. a = b. Теорема доказана.

Теорема. Если xn ® a, то .

Доказательство. Из xn ® a следует, что . В то же время:

, т.е. , т.е. . Теорема доказана.

Читайте также:  Error in bootrom communication please press reconnect

Теорема. Если xn ® a, то последовательность n> ограничена.

Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.

Например, последовательностьне имеет предела, хотя

Монотонные последовательности

Определение:

1) Если xn+1 > xn для всех n, то последовательность возрастающая.

2) Если xn+1 ³ xn для всех n, то последовательность неубывающая.

3) Если xn+1 Пример . n> = 1/n – убывающая и ограниченная

n> = n – возрастающая и неограниченная.

Пример . Доказать, что последовательность n> = монотонная возрастающая.

Найдем член последовательности n+1> =

Найдем знак разности: n>-n+1> =

, т.к. nÎN, то знаменатель положительный при любом n.

Таким образом, xn+1 > xn. Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.

Пример . Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность n> = .

Найдем . Найдем разность

, т.к. nÎN, то 1 – 4n 0 существует такое число N, что xN > a — e, где а – некоторая верхняя грань множества.

Т.к. n> — неубывающая последовательность, то при N > n а — e a — e.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Учись учиться, не учась! 10425 — | 7911 — или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Последовательность , n$ in $ N, называется ограниченной, если существуют числа a и b, при которых для каждого номера последовательности n справедливо неравенство (рис.1):

Например, последовательность вида:

Ограничена, т.к. $0le a_ le 1$

Последовательность $a_n$, n$ in $ N, называется ограниченной сверху, если существует b, при котором для каждого номера последовательности n справедливо неравенство:

Например, последовательность вида:

Ограничена сверху, т.к. $a_ le 99$

Читайте также:  Adobe gamma русская версия

Рисунок 1. Ограничение последовательности

Последовательность $a_n$, n$ in $ N, называется ограниченной снизу, если существует а, при котором для каждого номера последовательности n справедливо неравенство:

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Например, последовательность вида:

Ограничена снизу, т.к. $a_ ge -1$

Числовые последовательности могут быть неограниченными или постоянными.

Определить вид последовательности:

Не является ограниченной, т.к. для любых a и b можно найти большее или меньшее значение.

Определить вид последовательности:

Поскольку все члены последовательности равны, числовая последовательность — постоянная.

Определить ограниченность последовательности

Вывод: Функция ограничена и сверху, и снизу, поскольку $a_ ge frac<3> <2>$ и $a_

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Очередь просмотра

Очередь

  • Удалить все
  • Отключить

YouTube Premium

Хотите сохраните это видео?

  • Пожаловаться

Пожаловаться на видео?

Выполните вход, чтобы сообщить о неприемлемом контенте.

Понравилось?

Не понравилось?

Текст видео

Занятия и репетиторство по Skype. Facebook: http://facebook.com/matan.channel , ВКонтакте: http://vk.com/matan.channel , Viber: +7 (927) 74-69-502, WhatsApp: +7 (927) 74-69-502.

Репетиторство и консультации в группе «Матан. Занятия по Skype»: https://vk.com/matan_skype

Какие последовательности называются ограниченными снизу, какие ограниченными сверху, а какие — не ограничены, и как выяснить, является ли данная последовательность ограниченной.

Ограниченность — это еще одна из характеристик последовательности.

1. Если имеется такое число, что все члены данной последовательности больше этого числа, то такая последовательность называется ограниченной снизу.
2. Если имеется такое число, что все члены данной последовательности меньше этого числа, то такая последовательность называется ограниченной сверху.
3. Если последовательность ограничена и сверху и снизу, то такая последовательность называется просто ограниченной.
4. Если же последовательность не является ограниченной хотя бы с одной из сторон, то такая последовательность называется неограниченной.

Читайте также:  Усилитель звука на 6п3с

С наглядной точки зрения, ограниченная последовательность целиком заключена внутри какого-либо конечного отрезка числовой прямой. Если же последовательность не является ограниченной, то ее точки простираются в бесконечность хотя бы в одну сторону (налево или направо).

Ограниченность — важное свойство последовательностей. Ограниченность последовательности в целом ряде случаев позволяет судить о том, сходится последовательность или расходится. Вам нужно хорошо представлять себе, в чем состоит ограниченность (или неограниченность) последовательностей, так как в дальнейшем свойство ограниченности будет использоваться довольно-таки широко.

Просмотрите видео по теме «Ограниченные последовательности». Затем перейдите к вопросам по теме «Ограниченные последовательности» и попробуйте самостоятельно исследовать данные вам последовательности на ограниченность. Наконец, проверьте себя, просмотрев ответы на вопросы по теме «Ограниченные последовательности».