Доказать сходимость последовательности по теореме вейерштрасса

Теорема Вейерштрасса об ограниченной сверху возрастающей последовательности (или ограниченной снизу убывающей последовательности) утверждает, что любая ограниченная сверху монотонно возрастающая (или ограниченная снизу монотонно убывающая) последовательность имеет предел, причём этот предел равен её точной верхней (или нижней) грани. Несмотря на прозрачность и очевидность доказательства, эта теорема оказывается очень удобной для нахождения пределов многих последовательностей или хотя бы доказательства их существования.

Доказательство и формулировка [ править | править код ]

Пусть x n <displaystyle >> — ограниченная возрастающая последовательность. Тогда множество < x n >n ∈ N <displaystyle >_ >> ограничено, следовательно, по теореме о супремуме, имеет супремум. Обозначим его через S <displaystyle S> . Тогда lim n → ∞ x n = S <displaystyle lim _x_=S> . Действительно, так как S <displaystyle S> — супремум множества < x n >n ∈ N <displaystyle >_ >> , то для любого 0>"> ε > 0 <displaystyle varepsilon >0> 0"/> существует номер N <displaystyle N> такой, что S − ε x N ⩽ S <displaystyle S-varepsilon . Тогда для любого N>"> n > N <displaystyle n>N> N"/> имеем: S − ε x N ⩽ x n ⩽ S S + ε <displaystyle S-varepsilon . Тогда | x n − S | ε <displaystyle left|-S>
ight| при N>"> n > N <displaystyle n>N> N"/> . Следовательно, lim n → ∞ x n = S <displaystyle lim _x_
=S> . Теорема доказана. [1]

Примечания [ править | править код ]

  1. ↑ Зорич, с.101-102

Литература [ править | править код ]

Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. М.: Наука, 1981. 544 с.

Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности

Любая монотонная ограниченная последовательность < xn > имеет конечный предел, равный точной верней границе, sup < xn > для неубывающей и точной нижней границе, inf < xn > для невозрастающей последовательности.
Любая монотонная неограниченная последовательность имеет бесконечный предел, равный плюс бесконечности, для неубывающей и минус бесконечности, для невозрастающей последовательности.

Читайте также:  Orig wbootmenu by ovgorskiy

Доказательство

1) Пусть последовательность является неубывающей ограниченной последовательностью.

Поскольку последовательность неубывающая, то для всех n выполняются неравенства:
(1.1) .

Поскольку последовательность ограничена, то она имеет конечную точную верхнюю границу
.
Это означает, что:

  • для всех n ,
    (1.2) ;
  • для любого положительного числа , существует такой номер , зависящий от ε , так что
    (1.3) .

Поскольку последовательность неубывающая, то при имеем:
.
Здесь мы также использовали (1.3). Комбинируя с (1.2), находим:
при .
Поскольку , то
,
или
при .
Это и означает, что число является пределом последовательности .
Первая часть теоремы доказана.

2) Пусть теперь последовательность является невозрастающей ограниченной последовательностью:
(2.1) для всех n .

Поскольку последовательность ограничена, то она имеет конечную точную нижнюю границу
.
Это означает следующее:

  • для всех n выполняются неравенства:
    (2.2) ;
  • для любого положительного числа , существует такой номер , зависящий от ε , для которого
    (2.3) .

Поскольку последовательность невозрастающая, то при имеем:
.
Здесь мы также использовали (2.3). Учитывая (2.2), находим:
при .
Поскольку , то
,
или
при .
Это и означает, что число является пределом последовательности .
Вторая часть теоремы доказана.

Теперь рассмотрим неограниченные последовательности.
3) Пусть последовательность является неограниченной неубывающей последовательностью.

Поскольку последовательность неубывающая, то для всех n выполняются неравенства:
(3.1) .

Поскольку последовательность является неубывающей и неограниченной, то она неограниченна с правой стороны. Тогда для любого числа M существует такой номер , зависящий от M , для которого
(3.2) .

Поскольку последовательность неубывающая, то при имеем:
.
Здесь мы также использовали (3.2).

Итак, для любого числа M существует такое натуральное число , зависящее от M , так что для всех номеров выполняются неравенства:
.
Это означает, что предел последовательности равен плюс бесконечности:
.
Третья часть теоремы доказана.

4) Наконец рассмотрим случай, когда является неограниченной невозрастающей последовательностью.

Аналогично предыдущему, поскольку последовательность невозрастающая, то
(4.1) для всех n .

Поскольку последовательность является невозрастающей и неограниченной, то она неограниченна с левой стороны. Тогда для любого числа M существует такой номер , зависящий от M , для которого
(4.2) .

Читайте также:  Усилитель s m s l sa 98e

Поскольку последовательность невозрастающая, то при имеем:
.

Итак, для любого числа M существует такое натуральное число , зависящее от M , так что для всех номеров выполняются неравенства:
.
Это означает, что предел последовательности равен минус бесконечности:
.
Теорема доказана.

Пример решения задачи

Пользуясь теоремой Вейерштрасса, доказать сходимость последовательности:
, , . . . , , . . .
После чего найти ее предел.

Представим последовательность в виде рекуррентных формул:
,
.

Докажем, что заданная последовательность ограничена сверху значением
(П1) .
Доказательство выполняем методом математической индукции.
.
Пусть . Тогда
.
Неравенство (П1) доказано.

Докажем, что последовательность монотонно возрастает.
;
(П2) .
Поскольку , то знаменатель дроби и первый множитель в числителе положительные. В силу ограниченности членов последовательности неравенством (П1), второй множитель также положителен. Поэтому
.
То есть последовательность является строго возрастающей.

Поскольку последовательность возрастает и ограничена сверху, то она является ограниченной последовательностью. Поэтому, по теореме Вейерштрасса, она имеет предел.

Найдем этот предел. Обозначим его через a :
.
Воспользуемся тем, что
.
Применим это к (П2), используя арифметические свойства пределов сходящихся последовательностей:
.
Условию удовлетворяет корень .

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 25-09-2017

Теорема Вейерштрасса

Теорема Вейерштрасса. (Основная теорема теории последовательностей).

Если последовательность $left
ight>$ является нестрого возрастающей (нестрого убывающей) и $left

ight>$ ограничена сверху (снизу), то $left

ight>$ является сходящейся.

Данную теорему можно сформулировать немного иначе — Любая монотонная и ограниченная последовательность $left
ight>$ имеет предел.

Применение теоремы Вейерштрасса на практике

Задание. Доказать, что последовательность $left
ight>=left<frac<1>

ight>$ сходится.

Доказательство. Рассматриваемая последовательность ограничена снизу, так как для любого натурального $n$ : $x_=frac<1>>0$

Исследуем заданную последовательность на монотонность:

а значит последовательность $left
ight>$ монотонно убывающая, а тогда, согласно теореме Вейерштрасса, последовательность сходится.

Задание. Исследовать последовательность $x_=sqrt<12+x_>$ , $x_<1>=13$ заданную рекуррентно, на сходимость.

Решение. Предположим, что заданная последовательность $left
ight>$ сходится, тогда существует $lim _
x_=a$ , а тогда и

Читайте также:  Iptv для dune 102

Решая полученное уравнение относительно $a$, получаем:

$a^<2>-a-12=0 Rightarrow a_<1>=-3, a_<2>=4$

Так как предел неотрицательных чисел не может быть отрицательным, то делаем вывод, что $a=4$. Итак, если предел последовательности $left
ight>$ существует, то он равен 4.

Далее докажем, что:

2) $left
ight>$ является монотонно убывающей последовательностью.

Первое утверждение $x_>4$ докажем с помощью метода математической индукции:

1 шаг. Проверяем выполнения равенства для $n=1 : x_<1>=13>4$. Выполняется.

2 шаг. Делаем индуктивное предположение, что для $n=k$ данное неравенство имеет место, то есть $x_>4$

3 шаг. Проверяем выполнение неравенства для $n=k+1 : x_>4$ :

А это означает, что неравенство $x_>4$ выполняется для любого натурального $n$. Итак, первое утверждение доказано.

Теперь покажем, что последовательность является монотонно убывающей. Рассмотрим разность

Для $x_>4$ получаем, что , то есть последовательность $left
ight>$ монотонно убывает.

Таким образом, согласно теореме Вейерштрасса, последовательность $left
ight>$ является сходящейся.

Ответ. Согласно теореме Вейерштрасса, последовательность $x_=sqrt<12+x_>$ , $x_<1>=13$, заданная рекуррентно, является сходящейся.

Для того чтобы монотонная последовательность сходилась, достаточно, чтобы она была ограниченной.

Если последовательность монотонная, то для того, чтобы она была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной.

Число е (число Эйлера)

Используя теорему Вейерштрасса, можно показать, что последовательность $left
ight>=left<left(1+frac<1>

ight)^

ight>$ является сходящейся, то есть имеет предел. Данный предел равен числу е — числу Эйлера, которое является основанием натурального логарифма:

Задание. Найти предел последовательности $left
ight>=left<left(1+frac<1>
ight)^

ight>$ , используя тот факт, что $lim _
left(1+frac<1>
ight)^
=e$

Решение. Приведем последовательность к соответствующему виду.

Задание. Найти предел $lim _left(frac
ight)^
$

Решение. Для того, чтобы воспользоваться известным нам пределом приведем последовательность к соответствующему виду.