Импликация может обозначаться как

Импликация — бинарная логическая связка, по своему применению приближенная к союзам «если… то…».

Импликация записывается как посылка → следствие; применяются также стрелки другой формы и направленные в другую сторону (остриё всегда указывает на следствие).

Суждение, выражаемое импликацией, выражается также следующими способами:
Посылка является условием, достаточным для выполнения следствия;
Следствие является условием, необходимым для истинности посылки.

Переменные могут принимать значения из множества < 0,1 >. Результат также принадлежит множеству < 0,1 >. Вычисление результата производится по простому правилу, либо по таблице истинности. Вместо значений 0, 1 может использоваться любая другая пара подходящих символов, например false, true или F, T или "ложь", "истина".
Правило: результат равен 1 , если все операнды равны 1 ; во всех остальных случаях результат равен 0 .

Таблицы истинности:
прямая импликация (от a к b)

«Житейский» смысл импликации. Для более лёгкого понимания смысла прямой импликации и запоминания ее таблицы истинности может пригодиться житейская модель: А — начальник. Он может приказать «работай» (1) или сказать «делай что хочешь» (0). В — подчиненный. Он может работать (1) или бездельничать (0). В таком случае импликация — не что иное, как послушание подчиненного начальнику. По таблице истинности легко проверить, что послушания нет только тогда, когда начальник приказывает работать, а подчиненный бездельничает.

Импликация или логическое следование соответствует обороту «если. то. », обозначается A→ B. Таблица истинности импликации имеет вид:

Высказывание A→ B ложно в том и только в том случае, когда условие (первое высказывание A) истинно, а следствие (второе высказывание B) ложно.

A = «Завтра будет хорошая погода»

A→ B = «Если завтра будет хорошая погода, я пойду гулять»

Другой пример сложного высказывания: «Если поезд прибывает на данный путь, то подается сигнал, что путь закрыт».

A= « Поезд прибывает на данный путь»

В= «Подается сигнал, что путь закрыт»

Рассматриваемое сложное высказывание истинно, если:

1) поезд прибывает, сигнал «закрыт» (1, 1, 1);

2) поезд не прибывает, сигнал «свободен» (0, 0, 1);

3) поезд не пребывает, сигнал «закрыт» (0, 0, 1) — если поезд не пребывает, безопасен любой сигнал.

Высказывание ложно (безопасность не обеспечивается) только в том случае, если поезд прибывает, а сигнал «свободен» (1, 0, 0).

Читайте также:  Python поиск значения в словаре

Операция импликации в русском языке является самой «загадочной». Ей соответствую также следующие речевые обороты: «из А следует В»; «В только в случае А»; «А влечет В»; «А достаточно для В»; «В необходимо для А».

В обычной речи связка "если . то…" описывает причинно-следственную связь между высказываниями. Но в логических операциях смысл высказываний не учитывается. Рассматривается только их истинность или ложность. Поэтому не надо смущаться "бессмысленностью" импликаций, образованных высказываниями, совершенно не связанными по содержанию. Например, такими: "если президент США — демократ, то в Африке водятся жирафы", "если арбуз — ягода, то в бензоколонке есть бензин".

Эквивалентность

Эквивалентность (равноценность или равнозначность) соответствует оборотам речи «тогда и только тогда», «в том и только в том случае», «. равносильно . » и обозначается A↔B , или A≡B.

Таблица истинности эквивалентности имеет вид:

Выражение A↔B истинно в том и только в том случае, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.

Пример эквивалентности: «Петя выучит уроки тогда и только тогда, когда Пете поставят хорошую отметку».

В русском языке операции эквивалентности также соответствует речевой оборот «A необходимо и достаточно B».

Строгая дизъюнкция

Строгая дизъюнкция или «исключающее или», соответствует оборотам речи «или. или. » или «либо. либо...», и обозначается AB .

Таблица истинности эквивалентности имеет вид:

Выражение AB истинно в том и только в том случае, когда исходные высказывания A и B не равны между собой.

Это определение можно обобщить для любого количества логических переменных, объединенных строгой дизъюнкцией. Например,

A B C = 1, (3)

Логические формулы и функции Логическая формула

С помощью логических переменных и символов логических операций любое сложное (составное) высказывание можно записать в виде логической формулы. Её определение:

Всякая логическая переменная и символы "истина" ("1") и "ложь" ("0") — формулы.

Если А и В — формулы, то — тоже формулы.

Никаких других формул в алгебре высказываний нет.

Значение логической формулы определяется заданными значениями входящих в фор­мулу переменных. Тем самым каждая формула может рассматриваться как способ задания функции в алгебре высказываний.

Импликация
Не больше, IMPLY

Диаграмма Венна
Определение x → y <displaystyle x
ightarrow y>
Таблица истинности ( 1011 ) <displaystyle (1011)>
Логический вентиль
Нормальные формы
Дизъюнктивная x ¯ + y <displaystyle <overline >+y>
Конъюнктивная x ¯ + y <displaystyle <overline >+y>
Полином Жегалкина 1 ⊕ x ⊕ x y <displaystyle 1oplus xoplus xy>
Принадлежность предполным классам
Сохраняет 0 Нет
Сохраняет 1 Да
Монотонна Нет
Линейна Нет
Самодвойственна Нет
Читайте также:  The elder scrolls online карта мира

Импликация (от лат. implicatio — «связь») — бинарная логическая связка, по своему применению приближенная к союзам «если…, то…».

Импликация записывается как посылка ⇒ <displaystyle Rightarrow > следствие; применяются также стрелки другой формы и направленные в другую сторону, но всегда указывающие на следствие.

Суждение, выражаемое импликацией, выражается также следующими способами [1] [2] :

  • посылка является условием, достаточным для выполнения следствия;
  • следствие является условием, необходимым для истинности посылки.

Импликация играет очень важную роль в умозаключениях. С её помощью формулируются определения различных понятий, теоремы, научные законы [3] .

При учёте смыслового содержания высказываний импликация подразумевает причинную связь между посылкой и заключением [4] .

Содержание

Булева логика [ править | править код ]

В булевой логике импликация — это функция двух переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Переменные могут принимать значения из множества < 0 , 1 ><displaystyle <0,1>> . Результат также принадлежит множеству < 0 , 1 ><displaystyle <0,1>> . Вычисление результата производится по простому правилу, либо по таблице истинности. Вместо значений 0 , 1 <displaystyle 0,1> может использоваться любая другая пара подходящих символов, например false , true <displaystyle operatorname ,operatorname > или F , T <displaystyle F,T> или «ложь», «истина».

Импликация как булева функция ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Иными словами, импликация A → B <displaystyle A o B> это сокращённая запись для выражения ¬ A ∨ B <displaystyle
eg Alor B> .

«Житейский» смысл импликации. Для более лёгкого понимания смысла прямой импликации и запоминания её таблицы истинности может пригодиться житейская модель:

А — начальник. Он может приказать «работай» (1) или сказать «делай что хочешь» (0). В — подчиненный. Он может работать (1) или бездельничать (0).

В таком случае импликация — не что иное, как послушание подчиненного начальнику. По таблице истинности легко проверить, что послушания нет только тогда, когда начальник приказывает работать, а подчиненный бездельничает.

обратная импликация (англ.) русск. (от b к a, A ∨ ( ¬ B ) <displaystyle Alor (
eg B)> )

Обратная импликация — отрицание (негация, инверсия) обнаружения увеличения (перехода от 0 к 1, инкремента).

отрицание (инверсия, негация) прямой импликации

отрицание (инверсия, негация) обратной импликации (англ.) русск. ( ¬ A ∧ B <displaystyle lnot Aland B> ), разряд займа в двоичном полувычитателе.

Другими словами, две импликации (прямая и обратная) и две их инверсии — это четыре оператора отношений. Результат операций зависит от перемены мест операндов.

Синонимические импликации выражения в русском языке [ править | править код ]

  • Если А, то Б
  • Б в том случае, если А
  • При А будет Б
  • Из А следует Б
  • В случае А произойдет Б
  • Б, так как А
  • Б, потому что А
  • А — достаточное условие для Б
  • Б — необходимое условие для А

Многозначная логика [ править | править код ]

Теория множеств [ править | править код ]

Импликация высказываний означает, что одно из них следует из другого. Импликация обозначается символом ⇒ <displaystyle Rightarrow > , и ей соответствует вложение множеств: пусть A ⊂ B <displaystyle Asubset B> , тогда

x ∈ A ⇒ x ∈ B . <displaystyle xin ARightarrow xin B.>

Например, если A <displaystyle A> — множество всех квадратов, а B <displaystyle B> — множество прямоугольников, то, конечно, A ⊂ B <displaystyle Asubset B> и

(a — квадрат) ⇒ <displaystyle Rightarrow > (a — прямоугольник).

(если a является квадратом, то a является прямоугольником).

Классическая логика [ править | править код ]

Можно доказать эквивалентность импликации A → B <displaystyle A
ightarrow B> формуле ¬ A ∨ B <displaystyle
eg Alor B> (с первого взгляда более очевидна её эквивалентность формуле ¬ ( A ∧ ¬ B ) <displaystyle
eg (Aland
eg B)> , которая принимает значение «ложь» в случае, если выполняется A (посылка), но не выполняется B (следствие)). Поэтому любое высказывание можно заменить на эквивалентное ему без знаков импликации.

Интуиционистская логика [ править | править код ]

В интуиционистской логике импликация никоим образом не сводится к отрицаниям. Скорее напротив, отрицание ¬A можно представить в виде A → ⊭ <displaystyle A
ightarrow
vDash > , где ⊭ <displaystyle
vDash > — пропозициональная константа «ложь». Впрочем, такое представление отрицания возможно и в классической логике.

В интуиционистской теории типов импликации соответствует множество (тип) отображений из A в B.

Логика силлогизмов [ править | править код ]

В учении о силлогизмах импликации отвечает «общеутвердительное атрибутивное высказывание».

Программирование [ править | править код ]

В языках программирования импликация используется, как правило, неявно. Например, конструкция, предполагающая истинность условий B в данном участке программы:

будет успешно выполняться тогда и только тогда, когда верна импликация A → B. В то же время эти условия можно спокойно написать в одной строке, объединив их оператором конъюнкции.

При стандартных опциях компилятора (Delphi, C++ Builder) [ прояснить ] проверка идёт до тех пор, пока результат не станет очевидным, и если А ложно, то (А и В) ложно вне зависимости от В, и не нужно ставить ещё один условный оператор.

В функциональных языках импликация может быть не только правилом вычислений, но и видом отношения между данными, то есть обрабатываться (в том числе и выполняться) и создаваться по ходу выполнения программы.