Как вычислить высоту равнобедренного треугольника

Формулу высоты равнобедренного треугольника можно получить из теоремы Пифагора, а также по формуле Герона

Высота равнобедренного треугольника из теоремы Пифагора, формула

Высота равнобедренного треугольника по формуле Герона, формула

после подстановки коэфициента p в формулу получим

далее вносим под корень 2 и знаменатель b

Равнобедренным треугольником называется такой треугольник, у которого две из трех сторон равны между собой. Равные стороны считаются боковыми сторонами а, а третья сторона в называется основанием равнобедренного треугольника.

Соответственно, в таком треугольнике можно провести три высоты, две из которых будут равны между собой, аналогично сторонам — это высоты, опущенные на боковую сторону треугольника а, а третья высота опускается на основание. Высота треугольника проводится из угла треугольника к противолежащей стороне под прямым углом. Большинство задач с высотой треугольника решаются через прямоугольные треугольники, которые она образует.

Рассмотрим каждый случай по отдельности.

Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, обладает рядом индивидуальных свойств, присущих только ей и не распространяющихся на другие высоты в таком треугольнике. В частности, высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, совпадает с медианой и биссектрисой, проведенным к основанию, следовательно, она не только образует прямой угол с основанием, но и делит его на две равные части, как медиана, и аналогично делит угол пополам, как биссектриса. В итоге, высота является своеобразной осью симметрии треугольника и разделяет его на два конгруэнтных прямоугольных треугольника. В таком треугольнике высота является катетом, и чтобы найти ее длину необходимо соотнести стороны равнобедренного треугольника со сторонами прямоугольного. Боковая сторона равнобедренного треугольника становится гипотенузой, а чтобы определить второй катет, основание равнобедренного треугольника нужно разделить пополам, по свойству медианы.

Длина высоты равнобедренного треугольника равна по теореме Пифагора квадратному корню из суммы квадрата боковой стороны равнобедренного треугольника и четверти квадрата основания равнобедренного треугольника:

Второй случай, когда условиями задачи нужно найти высоту, опущенную на боковую сторону равнобедренного треугольника, раскрывается проще всего через площадь треугольника.

Площадь любого треугольника можно найти несколькими способами — например, через три стороны треугольника по формуле Герона, или через высоту, умножив ее на половину стороны, на которую она опущена. И тем, и другим способом получаются одинаковые значения площади, следовательно обе эти формулы можно друг к другу приравнять и отсюда вывести окончательную формулу высоты, опущенную на боковую сторону равнобедренного треугольника.

Формула Герона для равнобедренного треугольника будет иметь несколько упрощенный вид за счет того, что значения боковых сторон повторяются:

Площадь равнобедренного треугольника через высоту, опущенную к боковой стороне

Эту же формулу можно применять для нахождения любой высоты в равнобедренном треугольнике, если поменять в формуле соответствующие стороны местами.

Формула высоты равнобедренного треугольника через боковую сторону и угол при основании α: h=a sin⁡α

Формула через боковую сторону и угол напротив основания β:

Формула через основание и угол при нем α:

через основание и угол противолежащий ему β:

Определение

В общем случае, высота – это перпендикуляр, опущенный из вершины на противолежащую сторону. В равнобедренном треугольнике под высотой обычно подразумевают высоту, опущенную на основание.

Если по условию задачи нужно найти значение высоты равнобедренного треугольника без уточнений, какую именно высоту требуется найти, то имеется в виду высота, опущенная на основание.

Необходимые теоремы

Для решения задач на определение высоты равнобедренного треугольника, нужно знать теорему Пифагора и свойство высоты равнобедренного треугольника.

Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Свойство: в равнобедренному треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

Рис. 1. Иллюстрация свойства.

Из теоремы и свойства следует основная формула высоты равнобедренного треугольника. Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС с высотой АН и основанием ВС. Тогда треугольник АВН является прямоугольным. Запишем значение высоты через теорему Пифагора, так как в треугольнике АВН высота АН является катетом.

$$ВН=<1over2>*ВС$$, так как АН является медианой. Это и есть формула высоты равнобедренного треугольника.

Рис. 2. Рисунок к задаче.

Задача

Решим задачу, где будет задействована не только высота, проведенная к основанию, но другая высота. В равнобедренном треугольнике, как и в любом другом, их три. В задаче также будет применен способ нахождения высоты, который можно использовать для любого треугольника, а не только для равнобедренного.

В Равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведены высоты АН и ВР. Синус угла АСВ равен 0,6, а боковая сторона 5. Найти высоту ВР.

Рис. 3. Рисунок к задаче.

Для начала, необходимо найти значение высоты, проведенной к основанию и основания. Для этого обратим внимание на прямоугольный треугольник АСН. Воспользуемся определением синуса.

Синус угла это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Нам известно значение синуса, значит:

$$<АНover<АС>>=0,6$$ – из этого отношения выразим значение АН.

Через теорему Пифагора найдем значение НС:

Тогда основание равно:

Теперь найдем площадь треугольника:

С другой стороны площадь можно найти и через высоту ВР.

$$S=<1over2>*ВР*АС$$ – так как ВР это высота, проведенная к стороне АС.

Значит верно утверждение:

Что мы узнали?

Мы вывели формулу высоты прямоугольного треугольника. Определили, что высота в прямоугольном треугольнике может находиться любым способом, связанным с произвольным треугольником и решили интересную задачу на нахождение высоты треугольника.

Тест по теме

Оценка статьи

Средняя оценка: 4.4 . Всего получено оценок: 103.

Не понравилось? — Напиши в комментариях, чего не хватает.

Содержание

  1. Определение
  2. Необходимые теоремы
  3. Задача
  4. Что мы узнали?

Бонус

    Тест по теме
    Высота равнобедренного треугольника
  • Точка пересечения высот треугольника
  • Точка пересечения медиан треугольника
  • Свойства внешнего угла треугольника
  • Внешний угол треугольника
  • Биссектриса равнобедренного треугольника
  • Боковая сторона равнобедренного треугольника
  • Гипотенуза равнобедренного треугольника
  • Стороны равнобедренного треугольника
  • Сумма углов прямоугольного треугольника

По многочисленным просьбам теперь можно: сохранять все свои результаты, получать баллы и участвовать в общем рейтинге.

  1. 1. Наталия Дробот 198
  2. 2. Соня Зверева 153
  3. 3. Михаил Тяпин 143
  4. 4. Иоанн Стефановский 107
  5. 5. Оля Проскурина 85
  6. 6. Игорь Проскуренко 79
  7. 7. Илья Першин 70
  8. 8. Ирина Волкова 69
  9. 9. Мария Кауфман 65
  10. 10. Батыр Джанаев 58
  1. 1. Мария Николаевна 13,350
  2. 2. Лариса Самодурова 12,635
  3. 3. Liza 12,085
  4. 4. TorkMen 11,366
  5. 5. Кристина Волосочева 11,210
  6. 6. Ekaterina 11,051
  7. 7. Влад Лубенков 10,975
  8. 8. Лиса 10,970
  9. 9. Юлия Бронникова 10,725
  10. 10. Вячеслав 10,690

Самые активные участники недели:

  • 1. Виктория Нойманн — подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.
  • 2. Bulat Sadykov — подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.
  • 3. Дарья Волкова — подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.

Три счастливчика, которые прошли хотя бы 1 тест:

  • 1. Наталья Старостина — подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.
  • 2. Николай З — подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.
  • 3. Давид Мельников — подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.

Карты электронные(код), они будут отправлены в ближайшие дни сообщением Вконтакте или электронным письмом.

Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock detector