Разложение в непрерывную дробь

С помощю этого онлайн калькулятора можно преобразовать обыкновенную дробь, смешанное число или десятичное число в непрерывную (цепную) дробь. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения непрерывной дроби введите числа в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить". Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Числа можно ввести такжже в виде дроби. Кнопка открывает меню ( "Дробь"- преобразует строку в дробь, "Строка ввода" — преобразует дробь в виде числитель/знаменатель).Если дробь состоит только из целой части, то дробную часть можно оставить пустым. Если знаменатель дроби не вводить, то предполагается, что она равна 1. Если дробь не имеет целую часть, то целую часть можно оставить пустым.

Цепные (непрерывные) дроби − теория примеры и решения

Цепной (или непрерывной) дробью называется выражение вида

, (1)

Цепная дробь может быть конечным или бесконечным. Число может быть представлено конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда оно рационально. Ирациональные числа представляются в виде бесконечной цепной дроби.

Алгоритм разложения вещественного числа на цепную дробь имеет следующий вид:

. (2)

Если на i-ом шаге xi=0, то процесс останавливается. Цепная дробь принимает вид:

.

Пример 1. Построить цепную дробь для числа 25/11.

Преобразуем дробь в смешанное число:

.

Отделим целую и дробную части и обозначим через a и x, соответственно:

.

Перевернем дробную часть:

Читайте также:  Как проверить скорость интернета на телевизоре samsung
.

Преобразуем дробь в смешанное число:

.

Отделим целую и дробную части и обозначим через a1 и x1, соответственно:

.

Перевернем дробную часть:

.

Преобразуем дробь в смешанное число:

.

Отделим целую и дробную части и обозначим через a2 и x2, соответственно:

.

Перевернем дробную часть:

.

Отделим целую и дробную части и обозначим через a3 и x3, соответственно:

.

Дробная часть равна нулю. Процедуру останавливаем.

Непрерывная (цепная) дробь имеет вид:

.

Таким образом исходный дробь можно представить в виде следующей цепной дроби:

.

Пример 2. Построить цепную дробь для числа -7.56.

Преобразуем дробь в смешанное число:

.

Представим число в виде суммы целой и дробной частей и обозначим через a и x, соответственно:

.

Перевернем дробную часть:

.

Преобразуем дробь в смешанное число:

.

Отделим целую и дробную части и обозначим через a1 и x1, соответственно:

.

Перевернем дробную часть:

.

Преобразуем дробь в смешанное число:

.

Отделим целую и дробную части и обозначим через a2 и x2, соответственно:

.

Перевернем дробную часть:

.

Преобразуем дробь в смешанное число:

.

Отделим целую и дробную части и обозначим через a3 и x3, соответственно:

.

Перевернем дробную часть:

.

Отделим целую и дробную части и обозначим через a4 и x4, соответственно:

.

Дробная часть равна нулю. Процедуру останавливаем.

Непрерывная (цепная) дробь имеет вид:

.

Таким образом исходный дробь можно представить в виде следующей цепной дроби:

Цепная или непрерывная дробь — это дробь которую можно отобразить в виде

Цепочку из элементов a0,a1,a2,a3 и т.д. чаще всего представляют в виде строки [a0,a1,a2,a3,a4. an]

Как пример покажем как можно представиь дробь 52/111 в виде цепной дроби

Применение цепных дробей достаточно велико.

Мы можем с помощью них находить приближенные значения иррациональных чисел.

Непрерывная дробь иррационального квадратного корня всегда имеет вид

Таким образом мы можем утверждать что цепная дробь периодическая.

Читайте также:  1C отсутствует файл базы данных

Мы можем сокращать дроби и в идеальном случае создавать калькулятор дробных чисел, не обращая внимания на то, какие числа в выражении будут фигурировать.

Для любознательных и юных математиков, покажется очень интересным материал позволяющим по элементам непрервыной, цепной дроби (в том числе и комплексной) получать результирующую дробь(Результат по комплексной цепной дроби). Анализ таких цепей при разных начальных условиях, дает широкую возможность оценить свои силы и возможности понимания этой части такой науки как арифметика.

Для тех пользователей кто попал сюда в поисках вычисления дробных выражений то Вам вот на этот ресурс Калькулятор правильных и неправильных дробей

Синтаксис

Для пользователей JAbber клиентов cd

Выражение может быть как числом так и формулой в формате php

Примеры

Представить обычную дробь 11/8 в виде цепной

Последняя точка зрения является более общей по сравнению с первой, так как она применима к разложению в непрерывную дробь не только рационального, но и любого действительного числа.

Разложение рационального числа имеет, очевидно, конечное число элементов, так как алгоритм Евклида последовательного деления a на b является конечным.

Понятно, что каждая цепная дробь представляет определенное рациональное число, то есть равна определенному рациональному числу. Но возникает вопрос, не имеются ли различные представления одного и того же рационального числа цепной дробью? Оказывается, что не имеются, если потребовать, чтобы было.

Непрерывные дроби — последовательность, каждый член которой является обычной дробью, порождает непрерывную (или цепную) дробь, если ее второй член прибавить к первому, а каждую дробь, начиная с третьей, прибавить к знаменателю предыдущей дроби.

Любое вещественное число может быть представлено (конечной или бесконечной, периодической или непериодической) цепной дробью

где обозначает целую часть числа .

Читайте также:  Загадки про принтер сложные

Для рационального числа это разложение оборвётся по достижении нулевого для некоторого n. В этом случае представляется конечной цепной дробью .

Для иррационального все величины будут ненулевыми и процесс разложения можно продолжать бесконечно. В этом случае представляется бесконечной цепной дробью .

Для рациональных чисел может быть использован алгоритм Евклида для быстрого получения разложения в цепную дробь.

Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock detector