Сечение фигуры плоскостью начертательная геометрия

Сечение пирамиды плоскостью представляет собой плоскую фигуру и содержит в себе точки принадлежащие как поверхности пирамиды так и секущей плоскости.

Пирамида это многогранник — геометрическое тело боковой поверхностью которого служат плоские грани в виде треугольников. Линии пересечения граней (плоскостей) называются ребрами. В основании пирамиды находится плоский многоугольник число сторон которого соответствует количеству боковых граней. По количеству боковых граней пирамиду называют трех-, четырех-, пяти-, шестигранной и т. д.

Проекциями сечения многогранников плоскостью, в общем случае, являются многоугольники, вершины которых принадлежат ребрам, а стороны граням многогранника.

Найти сечение пирамиды плоскостью означает построение линии пересечения поверхности пирамиды (многогранника) плоскостью и сводится к многократному определению: — либо, линии пересечения двух плоскостей (граней пирамиды и секущей плоскости), которые соединяясь между собой образуют искомую линию сечения; — либо, точки встречи прямой (ребер пирамиды) с секущей плоскостью, которые соединяясь между собой прямыми линиями, образуют искомую линию сечения.

Построить сечение пирамиды плоскостью будет значительно проще если секущая плоскость занимает проецирующее положение. Найти трехгранной пирамиды плоскостью aH — горизонтальной плоскости проекций.

На горизонтальной плоскости проекций находим точки пересечения αH с ребрами пирамиды: 1`, 2`, 3`. На фронтальной плоскости проекций находим точки: 1", 2", 3", на пересечении линий проекционной связи с ребрами пирамиды: [S"A"], [S"B"], [S"C" ] соответственно. Плоская фигура 1 2 3 — треугольник, есть искомое сечение пирамиды плоскостью αH.

Построить сечение пирамиды плоскостью. Даны проекции пятигранной пирамиды SABCDE и секущая плоскость α(αH, αV), заданная следами.

Всп. пл. Заним. полож. Лин. закл. в пл. Линии пересеч плоскостей Точки пересеч. линий
β произвольное SBβ βα = 6-7(6`- 7`, 6"- 7") 6-7SB = 2(2`, 2")
γ1 γ1Hγ1V SAγ1 γ1α = f(f`, f") fSA = 1(1`, 1")
γ2 γ2V SCγ2 γ2α = 8-9(8`- 9`, 8"- 9") 8-9SC = 3(3`, 3")
γ3 γ2V SDγ3 γ3α = 10-11(10`- 11`, 10"- 11") 10-11SD = 4(4`, 4")
γ4 γ4V SEγ4 γ4α = 12-13(12`- 13`, 12"- 13") 12-13SE = 5(5`, 5")

Даны проекции пятигранной пирамида SABCDE и секущая плоскость α заданная проекциями трех точек 1(. 1"), 3(3`, . ) и 5(. 5"), принадлежащих ребрам SA, SC и SE соответственно. Достроить линию сечения пирамиды плоскостью α.

если известны проекции точек лежащих на ребрах пирамиды: 1(. 1"), 3(3`, . ) 5(. 5"). Составляем план решения задачи: — строим недостающие проекции для заданных точек; — соединяем точки сечения пирамиды прямыми линиями и построив следы этих прямых линий переходим к заданию секущей плоскости α следами αH и αV. Дальнейший ход решения задачи на сечение пирамиды плоскостью изложен в предыдущем примере.

Даны проекции пятигранной пирамида SABCDE и секущая плоскость α заданная проекциями трех точек 7(7`, 7"), 8(8`, 8"), 9(9`, 9") и 10(10`, 10"), являющихся вершинами ромба. Построить линию сечения пирамиды SABCDE плоскостью α и его натуральную величину, используя способ перемены плоскостей проекций .

Составляем план решения задачи: Преобразуем секущую плоскость α в фронтально проецирующую: — строится в секущей плоскости горизонталь h; — производится Перемена плоскости проекции V на V1; — строятся проекции секущей плоскости α"1 и пирамиды S"1A"1B"1C"1D"1E"1; — отмечаются точки пересечения ребер пирамиды с α"1: 1"1, 2"1, 3"1, 4"1 и 5"1; Преобразуем секущую плоскость α(α`, α"1) в фронтально проецирующую плоскость уровня α"1: — производится Перемена плоскости проекции H на H1 при этом x2 ‖ α"1; — строятся точки сечения 1`, 2`, 3`, 4` и 5`, найденные точки соединяем прямыми линиями и получаем искомую натуральную величину сечения пирамиды

Сечение пирамиды плоскостью, построенное здесь применено в статьях: — развертка поверхности усеченной пирамиды: Развертка поверхности усеченной пирамиды; — построение аксонометрических проекций усеченной пирамиды: Прямоугольная изометрия усеченной пирамиды; — графическая работа 12: Графическая работа 12.

СЕЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ ПЛОСКОСТЬЮ

В заданиях на построение усечен­ных геометрических тел можно выде­лить следующие задачи: 1) построе­ние усеченного тела в системе трех плоскостей проекций; 2) определение истинной величины фигуры сечения; 3) построение развертки усеченного тела и 4) вычерчивание его аксоно­метрической проекции. Ниже помеще­ны рекомендации по решению каждой из перечисленных задач.

Вначале по положению секущей плоскости определяют вид фигуры се­чения и в зависимости от формы гео­метрического тела выбирают прием построения проекций сечения. В зада­ниях секущие плоскости занимают проецирующее положение, поэтому одна проекция сечения задается. Не­достающие проекции фигуры сечения призмы или пирамиды строят по точ­кам пересечения их ребер с заданной плоскостью. Если же плоскость пере­секает поверхность вращения по ле­кальной кривой, то начинают с определения ее характерных точек.

Например, фронтально проецирующая плоскость Р (рис. 106) пересекает цилиндр по не­полному эллипсу. Его характерными точками являются: 1) А и В — точки, принадлежащие линии пересечения плоскости Р с основанием цилиндра; 2) С — конец большой оси эллипса; 3) D и Е — концы малой оси эллипса и они же точки, лежащие на очерковых образующих ци­линдра Последовательность нахождения точек эллипса указана стрелками на примере проме­жуточных точек 1 и 2.

Читайте также:  Серверы steam в данный момент недоступны

Истинную величину фигуры сече­ния определяют с помощью способа перемены плоскостей проекций или вращения. Если применяют способ перемены плоскостей проекций, то дополнительную плоскость задают параллельно секущей плоскости. Дополнительную плоскость совмещают с основной плоскостью проекций так, чтобы новая проекция сечения не наложилась на имеющиеся проекции. При использовании способа вращения ось вращения целесообразно распола­гать в секущей плоскости и на неко­тором расстоянии от тела.

Для примера показано положение оси вра­щения U (рис. 107) при определении истинной величины сечения четырехугольной призмы фронтально проецирующей плоскостью Р.

Построение развертки усеченного тела начинают с вычерчивания раз­вертки его полной боковой поверхно­сти. Далее на нее наносят линии се­чения и пристраивают к ней остальные части развертки — основания и фигуру сечения. Если какие-либо элементы, необходимые для построения разверт­ки, на проекциях искажены, то пред­варительно определяют их истинную величину.

Например, для построения развертки пра­вильной усеченной четырехугольной пирамиды (рис. 108) необходимо определить истинную ве­личину фигуры сечения — треугольника ADE и длину одного из ее боковых ребер, например ребра SB. Для определения истинной величины этих элементов их поворачивают до положения, параллельного плоскости V. Треугольник ADE повер­нут вокруг оси U, а ребро SB — вокруг высо­ты пирамиды. Далее строят развертку согласно рекомендациям в следующем порядке: задают положение вершины S; вычерчивают развертку полной боковой поверхности пирамиды; наносят на нее линии сечения DE и AE с помощью от­резков SE = = s ′ e′1 = L2 и DC = dc; пристраивают к ребру основания АВ фигуру усеченного основания— четырехугольник ABCD = abcd и к его стороне AD — треугольник ADE = a′1e′1 d′1.

Усеченные тела на аксонометриче­ской проекции вначале вычерчивают целыми. Далее изображают проекцию сечения и контурными линиями обво­дят усеченную часть тела.

Для примера на рис. 109 вычерчена изо­метрическая проекция конуса, усеченного фронтально проецирующей плоскостью Р по параболе. Параболу на изометрической проекции начинают строить с ее вершины А. Эту точку получают с помощью координаты—хА. Проекции нижних точек параболы В и С строят по координате хВ, С. Соединив точку А с серединой отрезка ВС, получают проек­цию оси симметрии параболы. Для построе­ния ее промежуточных точек откладывают по оси конуса от его основания отрезки, равные координатам z1,2, z3,1, z5,6. Через концы от­ложенных отрезков проводят прямые, па­раллельные оси координат X, до пересечения с осью симметрии параболы. Через получен­ные точки проводят хорды параболы, которые параллельны ее нижней хорде ВС. Длину каждой хорды замеряют на горизонтальной проекции усеченного конуса и откладывают на соответствующей хорде изометрической проекции.

Задание 23. Усеченные геомет­рические тела.Построить заданные усеченные геометрические тела (приз­му, пирамиду, цилиндр, конус) в си­стеме трех плоскостей проекций, опре­делить истинные величины фигур се­чения, вычертить развертки усеченных тел и их аксонометрические проекции. Вид аксонометрической проекции ука­зан в табл. 13.

Варианты задания Прямоугольная изометрическая проекция Прямоугольная диметрическая проекция
номера задач
I, III, V, VII, IX, XI, XIII, XV 1, 3 2, 4
II, IV, VI, VIII, X, XII,XIV 2, 4 1, 3
XVI 1, 4 2, 3

Изображение каждого геометриче­ского тела располагают на листе фор­мата A3.

Образцы выполненного задания с разными вариантами оформления приведены на рис. 110—113.

Работу над заданием следует на­чинать с компоновки чертежа, которая довольно трудоемка из-за большого количества изображений. Габариты горизонтальной, фронтальной, про­фильной и аксонометрической проек­ций тела подсчитывают по заданным проекциям. Размеры сечения и раз­вертки определяют приблизительно или делают на черновике нужные по­строения.

Сократить работу с предлагаемым за­данием можно, уменьшив число геометрических тел или упростив содержание задания. Например, отказаться от вычерчивания аксо­нометрической проекции тела или не строить его развертку.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Студент — человек, постоянно откладывающий неизбежность. 10811 — | 7380 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

    Артём Заборовский 3 лет назад Просмотров:

1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ СЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ Методические указания к выполнению эпюра 3 по дисциплине «Начертательная геометрия» Иркутск 2010

2 УДК 744 ББК С 28 Составители: М.В. Малова, к.т.н., доцент кафедры начертательной геометрии и графики ИрГУПС; Т.А. Дарманская, к.т.н., ст. преподаватель кафедры начертательной геометрии и графики ИрГУПС; В.В. Алексеев, учитель черчения НОУ «Школа-интернат 25 ОАО РЖД» Рецензенты: Н.К.Чепурных, к.т.н., доцент ВСИ МВД России Б.И. Китов, д.т.н., профессор, зав. каф. ТиПМ ИрГУПС С 28 Сечение поверхности плоскостью : метод. указ. к выполнению эпюра 3 / сост. М.В. Малова, Т.А. Дарманская, В.В. Алексеев. Иркутск : ИрГУПС, с. В методических указаниях подробно изложен теоретический материал, необходимый для выполнения эпюра 3. Детально рассмотрено решение основных типовых задач по определению линии сечения поверхности плоскостью. Методические указания предназначены для студентов всех специальностей дневной и заочной форм обучения, изучающих курс начертательной геометрии. Ил. 17. Табл. 5. Библиогр.: 4 назв. Иркутский государственный университет путей сообщения,

Читайте также:  Самая худшая видеокарта в мире

3 1. Общие положения Сечением называется плоская замкнутая фигура, которая получается при пересечении поверхности плоскостью. Контур сечения определяется множеством точек, которые одновременно принадлежат поверхности и секущей плоскости. В зависимости от формы заданной поверхности и расположения секущей плоскости фигура сечения может быть или ломаной линией (при пересечении многогранников плоскостью), или плавной замкнутой кривой (при пересечении криволинейных поверхностей плоскостью). Для построения опорных промежуточных точек (границы видимости, высшие и низшие точки и др.) используются вспомогательные секущие плоскости-посредники и иногда применяется способ преобразования ортогональных проекций (например, способ перемены плоскостей проекций). Для построения фигуры сечения необходимо: 1. Определить каркас поверхности. 2. Найти точки пересечения каждой каркасной линии с заданной плоскостью. 3. Найденные точки последовательно соединить между собой, выделяя видимую и невидимую части фигуры сечения. В случае многогранников найденные точки соединяют прямыми линиями, в случае кривых поверхностей плавной кривой. Различные формы линий сечения показаны на рисунке 1. Для многогранников за линии каркаса принимают ребра. Для кривых поверхностей один из видов образующих. Так, для конуса и цилиндра это могут быть прямолинейные образующие, криволинейные (окружности), параллели, для шара и тора только окружности. Возможные формы линий каркаса для различных поверхностей показаны на рисунке 2. 3

5 Рис. 2 Для тех геометрических тел, которые имеют основания, в каркас включаются и линии основания. При построении сечения поверхностей геометрических тел могут встретиться две группы задач: секущая плоскость занимает частное положение; секущая плоскость занимает общее положение. 2. Первая группа задач. Секущая плоскость занимает частное положение Задача 1. Построить сечение треугольной пирамиды фронтальнопроецирующей плоскостью Г (Г 2 ) и определить натуральную величину фигуры сечения (рис. 3). 5

6 Рис. 3 Секущая плоскость занимает частное положение (фронтальнопроецирующая), поэтому фронтальная проекция сечения совпадает с фронтальной проекцией Г 2 секущей плоскости. Плоскость Г проходит так, что не пересекает ребро SА, но пересекает основание пирамиды треугольник ABC. Решение: за линии каркаса принимаем ребра SС, SВ и основание пирамиды. Находим точки пересечения каркасных линий с проекцией заданной плоскости. Фронтальная проекция сечения прямая Горизонтальные проекции точек 1 и 2 находим по линиям проекционной связи на горизонтальных проекциях ребер SС и SВ, а точек 3 и 4 на сторонах основания АВ и АС. Горизонтальные проекции точек соединяем прямыми, выделяя видимые и невидимые участки линии. 6

7 Натуральную величину фигуры сечения определяем методом замены плоскостей проекций: П 2 П 2 П1 // Г, Х // Г 2 П 1 П 1 Задача 2. плоскостью Σ (Σ 2 ) (рис. 4). Построить сечение сферы фронтально-проецирующей Рис. 4 Фронтальная проекция сечения проецируется в прямую, совпадающую с фронтальной проекцией плоскости Σ. Решение: намечаем каркас на поверхности сферы из окружностей (параллелей). На плоскость П 2 параллели проецируются в прямые, на П 1 в окружности. Находим точки пересечения каркасных линий с заданной плоскостью. Фронтальные проекции точек сечения определяются в пересечении каркасных линий с фронтальной проекцией плоскости Σ, а 7

8 горизонтальные проекции определяются по линиям проекционной связи каждая на своей параллели. Точки 1 и 10 на главном меридиане и точки 6 и 7 на экваторе определяют границу видимости сечения на горизонтальной плоскости проекций. Полученные на горизонтальной плоскости проекций точки соединяем плавной кривой с учетом видимости. Задача 3. Построить сечение цилиндра фронтально-проецирующей плоскостью. Эпюр выполнить в 3-х проекциях (рис. 5). Рис. 5 Решение: на поверхности цилиндра намечаем каркас из образующих. Определяем точки пересечения каркасных линий с заданной плоскостью. Образующие цилиндра горизонтально-проецирующие прямые, поэтому горизонтальная проекция сечения совпадает с основанием. Высшая и 8

9 низшая точки сечения 1 и 8 находятся на очерковых образующих цилиндра, точки 2, 3, 4, 5, 6 и 7 на промежуточных образующих. На профильную плоскость проекций сечение проецируется в эллипс. Строим профильные проекции образующих и на них определяем точки сечения. Профильные проекции полученных точек соединяем плавной кривой, выделяя видимые и невидимые участки эллипса. Задача 4. Построить сечение поверхности прямого кругового конуса фронтально-проецирующей плоскостью Г (Г 2 ) и определить натуральную величину фигуры сечения (рис. 6). Рис. 6 Секущая плоскость Г пересекает все образующие конуса, и в сечении образуется эллипс. Фронтальная проекция эллипса совпадает с фронтальной проекцией секущей плоскости Г 2. 9

10 Решение: на поверхности конуса намечаем каркас из прямых образующих или окружностей (параллелей). Горизонтальные проекции точек сечения будут расположены на горизонтальных проекциях соответствующих линий каркаса. Так, горизонтальные проекции точек 1 и 8 находятся на горизонтальных проекциях очерковых образующих SA и SB, горизонтальные проекции точек 2 и 3 на горизонтальных проекциях образующих SС и SD и т.д. Горизонтальные проекции точек 4 и 5 найдем при помощи параллели, которая проецируется на П 2 в прямую, перпендикулярную оси конуса, а на П 1 в окружность. Полученные горизонтальные проекции точек сечения соединяем плавной кривой. Прямая 1 8 определяет большую ось эллипса, ее натуральная величина. Малая ось эллипса проходит через середину большой (точка О) и перпендикулярна к ней. На плоскость П 1 малая ось эллипса проецируется в натуральную величину. Натуральная величина фигуры сечения определяется методом замены плоскостей проекций. Заменяем плоскость П 1 на 2, П 2 2 П1 // Г, Х // Г 2 П 1 П П 1 Задача 5. Построить сечение поверхности прямого кругового конуса фронтально-проецирующей плоскостью Г (Г 2 ) и определить натуральную величину фигуры сечения (рис. 7). 10

Читайте также:  Что будет если нажать выйти из системы

11 Рис. 7 Секущая плоскость параллельна одной образующей конуса и в сечении дает параболу. Фронтальная проекция сечения совпадает с фронтальной проекцией секущей плоскости Г 2. Решение: на поверхности конуса получаем каркас из образующих или окружностей (параллелей). Горизонтальные проекции точек сечения находятся на горизонтальных проекциях соответствующих каркасных линий. Так, вершина гиперболы (точка 1) находится на очерковой образующей SA (1 2 на S 2 A 2, 1 1 на S 1 A 1 ). Точки 8 и 9 находятся на основании конуса. Горизонтальные проекции точек сечения соединяем плавной кривой. Натуральная величина фигуры сечения определяется методом замены плоскостей проекций: П 2 П 2 П1 // Г, Х // Г 2 П 1 П 1 11

12 3. Вторая группа задач. Секущая плоскость занимает общее положение Задача 1. Построить сечение конуса плоскостью Σ (h f) (рис. 8). Рис. 8 Решение: За линии каркаса принимаем образующие и параллели. Определяем последовательно точки пересечения соответствующих образующих или параллелей конуса с секущей плоскостью Σ (h f). 12

13 Порядок действий следующий: 1. Определяем наиболее и наименее удаленные от горизонтальной плоскости проекций высшую и низшую точки. Эти точки определяются методом замены плоскостей проекций. Заменяем плоскость П 1 на 2, П 2 П 1. Новая ось проводится перпендикулярно горизонтальной П 1 П 2 проекции горизонтали. Высшая точка 1 и низшая точка 2 построены как точки пересечения образующих конуса, лежащих в новой плоскости 2, и секущей плоскости Σ ( ). 2. Строим промежуточные точки (расположенные между найденными точками 1 и 2) с помощью вспомогательных секущих плоскостей частного положения горизонтальных плоскостей уровня, проходящих через соответствующие параллели конуса. 3. Полученные точки соединяем плавной кривой линией. 4. Точки, которые на фронтальной проекции будут находиться на очерковых образующих конуса и определять границы видимости линии сечения, должны быть спроецированы с горизонтальной плоскости проекций (точки пересечения построенной линии и горизонтальной осевой линии). Определяем истинную величину фигуры сечения методом замены плоскостей проекций. Для этого проводим новую ось плоскостей проекций параллельно проекции плоскости. Задача 2. Построить сечение пирамиды SABC плоскостью Σ ( DEF). 13

14 Решение задачи представлено на рисунке 9. Рис Сечение плоскостью частного положения поверхности, имеющей сквозное отверстие 14

15 Задача 1. Построить сечение усеченного цилиндра фронтальнопроецирующей плоскостью. Рис. 10 При решении задач по построению линии сечения плоскостью частного положения поверхности, имеющей сквозное отверстие, на первом этапе выполняется построение сквозного отверстия, а затем непосредственно сечение поверхности плоскостью. На линии контура сквозного отверстия выбираем точки от 1 до 9. Все они являются парными. Поскольку цилиндр является проецирующей поверхностью (его боковая поверхность перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций), проекции всех точек на горизонтальной плоскости проекций будут находиться на окружности (проекции основания цилиндра). Для нахождения проекций точек на профильной плоскости проекций необходимо пользоваться вспомогательными плоскостями уровня (Г 1 Г 4 ). 15

16 Проекции плоскостей уровня будут определять положение точек по высоте, а положение точек по ширине на каждом уровне будет определяться расстояниями проекций точек от горизонтальной оси (А 1 В 1 ) вверх и вниз, отложенными на профильной плоскости проекций от вертикальной оси симметрии влево и вправо соответственно. Найденные точки соединяем плавной кривой ( ) или прямыми ( ) линиями. Рис.11 На втором этапе работы (рис. 11) выполняется линия сечения поверхности плоскостью. На проекции секущей плоскости выбирается ряд точек (C 2, D 2, E 2, F 2, M 2, N 2 ) и определяется их положение на горизонтальной и профильной плоскостях проекций (аналогично действиям на первом этапе). Найденные точки соединяются плавными 16

17 кривыми или прямыми линиями. Площадь сечения штрихуется. Предполагается, что мы мысленно удаляем часть поверхности, отсеченную плоскостью. На эпюре усеченную часть показываем сплошной тонкой линией. Задача 2. Построить сечение усеченной пирамиды фронтальнопроецирующей плоскостью. Рис. 12 Аналогично решению задачи 1 (рис. 10, 11) на первом этапе необходимо выполнить линию сквозного отверстия на поверхности детали. На рисунке 12 это симметричные ломаные линии Далее (рис. 13) выполняется сечение пирамиды с отверстием фронтально-проецирующей плоскостью. 17

18 Рис. 13 Подобным образом решаются и задачи 3 и 4. Примеры решения приведены на рисунках 14, 15 и 16, 17. Задача 3. Построить сечение усеченной призмы фронтальнопроецирующей плоскостью. 18

19 Рис. 14 Рис. 15 Задача 4. Построить сечение усеченного конуса фронтальнопроецирующей плоскостью. 19

20 Рис. 16 Рис. 17 Задания для выполнения эпюра 3 20

21 Сечение геометрической фигуры секущей плоскостью частного положения (Таблица 1). Сечение гранных поверхностей секущей плоскостью частного положения (Таблица 2). Сечение поверхностей вращения секущей плоскостью частного положения (Таблица 3). Сечение полых геометрических фигур секущей плоскостью частного положения (Таблица 4). Сечение геометрических фигур плоскостью общего положения (Таблица 5). 21

Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock detector