Точечное тело движется равномерно по плоской кривой

До сих пор мы молчаливо предполагали, что во время движения орты постоянны и дифференцировать их по времени нет необходимости. Это предположение справедливо не всегда. Например. Оно не справедливо, если происходит криволинейное движение. Простейший случай такого движения – движение по окружности или, в более общем случае – по плоской кривой. Кривая называется плоской, если все её точки лежат в одной плоскости (см. рис. 1). Как легко заметить, орты координат при этом изменяют своё направление, то есть зависят от времени.

В случае вращения по окружности с постоянной по модулю скоростью известно, что на материальную точку действует центростремительная сила

,

где – масса материальной точки, – модуль её скорости, – радиус окружности, – радиус-вектор, проведенный из центра окружности в ту точку, где в данный момент находится материальная точка. Знак минус указывает, что действующая на материальную точку сила направлена к центру окружности.

При движении по плоской кривой формулу для центростремительной силы можно обобщить. Для этого надо сделать несколько шагов.

Выделим на плоской кривой L произвольные точки A и B. Построим окружности, касающиеся этих точек; стрелки указывают радиусы и , проведенные из центров окружностей в точки касания. Соответствующие радиусы (не векторы) называются радиусами кривизны в точках и . Обратная величина, например, , называется кривизной кривой L в точке . Кривая должно быть плавной. В точке излома (в физике таких кривых не бывает) кривизна не определена. Для прямой линии кривизна стремится к нулю (радиус кривизны бесконечен). В точке кривизна считается положительной, в точке – отрицательной.

Если точка движется со скоростями и , то на неё действуют центростремительные силы , определяемые указанной формулой. Это, в частности, означает, что они движутся с центростремительным ускорением

или .

Но это не полное ускорение материальной точки. Для того, чтобы найти полное ускорение учтем, что при движении по плоской кривой скорость имеет вид

,

где – вектор, касательный к рассматриваемой точке (например, к точке В , см. рис. 1), причем он зависит от времени, — модуль скорости в этой точке.

Чтобы найти ускорение надо продифференцировать скорость:

.

Первое слагаемое называется тангенциальным (касательным) ускорением,

,

и учитывает поворот касательного орта (для движения по прямой тангенциальное ускорение равно нулю), второе слагаемое – центростремительное ускорение,

,

и учитывает изменение модуля скорости.

Таким образом, полное ускорение равно

,

а так как радиус, проведенный в точку касания перпендикулярен касательной, модуль полного ускорения равен

.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Только сон приблежает студента к концу лекции. А чужой храп его отдаляет. 8955 — | 7623 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

2017-05-07
Частица движется с постоянной по модулю скоростью $v$ по плоской траектории $y(x)$. Найти ускорение частицы в точке $x = 0$ и радиус кривизны траектории в этой точке, если траектория имеет вид:
а) параболы $y = ax^<2>$;
б) эллипса $(x/a)^ <2>+ (y/b)^ <2>= 1$. Здесь $a$ и $b$ — постоянные.

(а) Продифференцируем дважды уравнение траектории $y(x)$ по времени.

Поскольку частица движется равномерно, ее ускорение во всех точках пути нормальное, а в точке $x = 0$ оно совпадает с направлением производной $d^ <2>y / dt^<2>$. Имея в виду что в точке $x = 0, left | frac

ight | = v$,

Мы получаем $w = left | frac<2>y><2>>
ight |_ = 2av^ <2>= w_$

Заметим, что мы можем также вычислить его по формуле задачи (3303 b)

(б) Дифференцируя уравнение траектории по времени, получаем, что

где вектор $(b^ <2>x vec + a^ <2>y vec)$ нормален к вектору скорости $vec = frac

vec

+ frac

vec$ и направлен вдоль касательной. Таким образом, прежний вектор напрвлен по нормали, а нормальная составляющая ускорения:

Используя, $w_ = vec cdot vec / | vec|$. При $x=0, y = pm b$ и, при $x = 0$

$b^ <2>left ( frac

ight )^ <2>+ b^ <2>x left ( frac<2>x><2>>
ight ) + a^ <2>left ( frac

ight )^ <2>+ a^ <2>y left ( frac <2>y><2>>
ight ) = 0$

Также из (1) $frac

= 0$ при $x=0$

Таким образом, $left ( frac

ight ) = pm v$ (так как тангенциальная скорость постоянна $= v$)

таким образом $left ( frac<2>y><2>>
ight ) = pm frac<2>> v^<2>$

Вопрос по физике:

Материальная точка равномерно движется по кривой.определите отношение радиусов кривизны траектории в точках A и Б,если известно,что отношение
центростремительных ускорений в этих точках равно 1/4.

Ответы и объяснения 1

по условию V1=V2
тогда
R2/R1=1/4

или R1/R2=4 — ответ

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

• Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
• Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
• Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

• Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
• Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
• Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
• Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Физика.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Физика — область естествознания: естественная наука о простейших и вместе с тем наиболее общих законах природы, о материи, её структуре и движении.